Circunferencia que pasa por 3 puntos

Estos ejercicios tienen diferentes soluciones, pero tomaremos un sencillo y que ya conocemos para resolverlo llamado método de Kramel , pero primero hay que estructural las ecuaciones necesarias para utilizar el método.

Tenemos la forma general de  la ecuación:

x2 + y2 +ax + by + c =0

De aquí haremos 3 ecuaciones que nos ayudarán a resolver el problema:

a) x12 + y12 +ax1 + by1 + c =0

b) x22 + y22 +ax2 + by2 + c =0

c) x32 + y32 +ax3 + by3 + c =0

Las despejamos:

a) ax1 + by1 + c = -x12  – y12

b) ax2 + by2 + c = -x22 –  y22

c) ax3 + by3 + c = – x32 – y32

Ahora hagamos un ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene los puntos P (1,-2) Q (-3,-2) y R (4,5)

Lo primero que tenemos que hace es sustituir las ecuaciones anteriores para sacar nuevas ecuaciones, para no confundirnos, recordemos que P(x1, y1) Q  (x2,  y2) y R (x3, y3)

Así que las fórmulas quedan de la siguiente manera:

a) a – 2b + c = -5

b) -3a -2b + c = – 13

c) 4a + 5b + c = -41

Ahora, usando el método de kramel, sacaremos  ∆ (delta), para sacar ∆ se usa el siguiente acomodo: 

para  ∆= a   b   c

para ∆a= R  b  c

para ∆b= a  R  c

para ∆c= a  b  R

Y se repiten las dos últimas columnas, después se multiplica diagonalmente, en el primero se respetan los signos y en el segundo se cambia por los signos contrarios., así queda la matriz:

Ahora saquemos ∆a, ∆b y ∆c:

Por último, dividimos todas las ∆ entre ∆, y sustituimos la fórmula general que es  x2 + y2 +ax + by + c =0

Nos quedaría algo así

a = ∆a/∆ = -56/-28 = 56/28 = 2

b=∆b/∆ = 168/-28= -6

c=∆c/∆ = 532/-28= -19

Entonces la fórmula de la circunferencia sería la siguiente:

x2 +y2 +2x -6y -19 =0

Y ¡eso es todo!

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