La recta y sus ecuaciones

La recta

Para empezar este tema primero tenemos que definir lo que es una línea recta.

Línea recta: se entiende por línea recta el lugar geometríco de los puntos tales que, tomados dos puntos cualesquiera del lugar,  P(x1,y1) y Q(x1,y1),  el valor de la pendiente, cuando se calcula por medio del a fórmula     es siempre constante.

Es decir, todos los puntos en una misma dirección o todos los puntos que la componen, por esa razón tenemos que tendrán la misma pendiente.

Veamos por ejemplo las rectas que son paralelas a los ejes X y Y.

Si la recta l  no tiene la pendiente definida, quiere decir que es paralela al eje y, y dista a unidades del eje Y. Entonces todos sus puntos tiene por por abcisa a, entonces la ecuación de la recta sería x=a. Eso nos da a entender que esa sería la fórmula para todos las rectas que son paralelas a y.

Digamos la recta h, tiene pendiente 0, significa que es horizontal, y se encuentra a b del eje x, entonces todos sus puntos estan a b del eje x. Por lo tanto podemos decir que la fórmula para las rectas paralelas a x es y=b

No es posible trazar otra recta diferente de l que pase por el mismo punto p y posea la misma dirección.

También podemos decir que una recta estará determinada si se conoce un punto y su pendiente. Existen dos elementos relacionados con las interseciones de la recta con los ejes coordenados, en puntos serían (a,0) y (0,b), donde:

 a es la coordenada horizontal, se le denomina abcisa en el origen.

b es la coordenada vertical, se le denomina ordenada en el orgen.

 

Ecuaciones de la recta

Tomando en cuenta esos factores podemos tomar diferentes ecuaciones para determinar una recta.

1-Forma punto-pendiente

Si se conoce un punto P(x1,y1) de la recta, y su pendiente. Y tenemos un punto (x,y) que puede ser cualquier punto en la recta, podemos usar la fórmula del a pendiente, y si esta la despejamos, podemos obtener la siguiente fórmula:

2-Forma pendiente-intersección

Para esta fórmula, se involucran la pendiente y la ordenada en el origen(b), con esto y recordando que la ordenada en el origen es (0,b), podemos definir la siguiente fórmula si el punto (0,b) se toma como el punto (x1,y1),

Esto es si sustituimos y – y1 = m(x – x1)

y – b = m(x – 0)

podemos despejar la fórmula y definir la siguiente:

donde m es la pendiente y b la intersección en Y.

3-Forma simétrica

Si la recta no es  paralela a ninguno del os ejes y no pasa por el origen, pero interseca los ejes en (a,0) y (0,b), donde a es la abcisa en el origen y b la ordenada en el origen, entonces si conocemos estos puntos podemos usar la forma símétrica de la ecuación, esta indica lo siguiente:

Donde a es la intersección con x y b la intersección con y.

4-Forma general

Todas las fórmulas anteriores pueden ponerse bajo la fórmula:

Esta es conocida como la fórmula general de la ecuación de uan recta, siempre y cuando A,B ≠ 0.

*Para transformar de la forma punto pendiente a la general, sólo se despeja.

Aquí hay un ejemplo.

y – 3 = – 4(x – 5)

y – 3 = – 4x + 20

4x + y – 3 – 20 = 0

4x + y – 23 = 0

*Para transformar de la forma pendiente- intersección a la forma general, igual se  sigue un despeje, y este es todavía más fácil, dejamos otro ejemplo:

y  = 3x + 4

3x – y + 4 = 0

*Para transformar de la forma simétrica a la general, se hace lo siguiente:

Estas fórmulas se dan en forma de fracción, por lo que se complicarían un poco las cosas para despejar X y Y. Pero hay una forma fácil de poder convertir y despejar esta fórmula, simplemente recordemos que toda literal que no tiene un coeficiente, digamos x, tiene como coeficiente 1, es decir, sería 1x, pero por razones de sintetizar no se representa, al utilizarlo aquí, hacemos que las literales tengan un coeficiente que podamos utilizar, se entiende mejor con el siguiente ejemplo:

 x/5 + y/5= 1

si tomamos  el “uno invisible”

1/5 x +  1/5y = 1

Y ahora si, sólo despejamos

1/5x + 1/5y -1= 0

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